Уравнение Бернулли – Всё для чайников
ПодробностиКатегория: Гидравлика
Документальные учебные фильмы. Серия «Физика».
Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli; 29 января (8 февраля) 1700 — 17 марта 1782), швейцарский физик-универсал, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750). Сын Иоганна Бернулли.
Закон (уравнение) Бернулли является (в простейших случаях) следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:
Здесь
— плотность жидкости, — скорость потока, — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, — ускорение свободного падения.
Уравнение Бернулли также может быть выведено как следствие уравнения Эйлера, выражающего баланс импульса для движущейся жидкости.
В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли(не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли или интегралом Бернулли.
Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.
Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости.
Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости.
Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»).
Соотношение, близкое к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли. В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.
Для горизонтальной трубы высотапостоянна и уравнение Бернулли принимает вид: .
Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности : .
Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.
Полное давление состоит из весового, статическогои динамическогодавлений.
Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа.
Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов.
А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики.
Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для приближённого описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.
Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений), в магнитной гидродинамике, феррогидродинамике.
В статье были спользованны материалы Wikipedia
Источник: https://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/47-fizika/gidravlika/109-uravnenie-bernulli
Уравнение Бернулли
Источник: http://infosantehnik.ru/str/91.html
Уравнение Бернулли – основное уравнение гидравлики
Источник: http://www.techgidravlika.ru/view_post.php?id=40
Вывод уравнения бернулли для струйки идеальной жидкости
Источник: https://megapredmet.ru/1-45440.html
Осторожно: уравнение Бернулли!
В гидродинамике широко используется уравнение Бернулли, связывающее давление жидкости со скоростью течения. Для несжимаемой жидкости оно выглядит так:P + rho v^2/2 + rho g h = constВывод его довольно прост, физически прозрачен и вполне доступен для школьника: для того, чтоб разогнать воду, ее надо подтолкнуть, т.е.
давление со стороны меньшей скорости течения должно быть больше.
Теперь важный момент: этот вывод о связи скорости с давлением делается не для произвольных двух точек жидкости, а для трубки тока, то есть той линии, вдоль которой жидкость течет.
Иногда об этом условии забывают, и тогда неоправданное применение формулы Бернулли приводит к неправильным заключениям или парадоксам.
Пример такого очевидного парадокса.
Пусть есть плоскость, разделяющая заполненное жидкостью пространство на две части: А и В. В полупространстве А жидкость покоится, в полупространстве В — движется с постоянной скоростью v вдоль плоскости.Применяя формулу Бернулли, получаем, что давление в А больше, чем в В, т.е. плоскость будет выдавливать в сторону В.
Перейдем в систему отсчета движущейся жидкости. Теперь вода в А движется назад со скоростью v, а в В — покоится. При этом движется и сама плоскость тоже, но можно всегда ограничить себя рассмотрением идеально скользкой плоскости, которая не оказывает никакого влияния на движение воды.
Согласно формуле Бернулли, давление будет больше уже на стороне В. Получается парадокс: вывод о том, в какую сторону выдавливается плоскость, зависит от точки зрения на процесс.Решение парадокса ясно — жидкость в двух попупространствах не связана никакой трубкой тока, а значит применять формулу Бернулли нельзя.
Более хитрый случай: когда никаких разделенных областей пространства нет.
Например, при стационарном ламинарном течении жидкости по бесконечной трубе скорость течения зависит от удаленности от оси трубы, но давление при этом постоянно по всей толще трубы. Отдельные линии тока не пересекаются, и поэтому нельзя применять формулу Бернулли для течений жидкости на разных удалениях от центра!
Но это не значит, что формулу Бернулли нельзя применять в задачах обтекания! Все зависит от конкретной постановки задачи. Если, например, известно, что набегающий на тело из бесконечности поток имел первоначально одинаковое давление по всей толщине (т.е.
если задано именно такое граничное условие), то формулу Бернулли применять можно и для точек на поверхности тела, не связанных линиями тока. Точнее, они связаны линией тока, котора узодит на бесконечность и возвращается оттуда.
Ну и отдельный класс неправильных интерпретаций уравения Бернулли связан с отрывом течения.
В частности, широко распространено неправильное объяснения подъемной силы крыла из-за перепада скоростей. Подчеркну — это неправильное объяснение.
Источник: http://igorivanov.blogspot.com/2006/03/blog-post_25.html
Краткие теоретические сведения. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости
Уравнение Бернулли для идеальной жидкости
Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики. Оно дает связь между давлением P, средней скоростью υ и пьезометрической высотой z в различных сечениях потока и выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. С помощью этого уравнения решается большой круг задач.
Рассмотрим трубопровод переменного диаметра, расположенный в пространстве под углом β (рис.1).
Рис.1. Схема к выводу уравнения Бернулли для идеальной жидкости
Выберем произвольно на рассматриваемом участке трубопровода два сечения: сечение 1-1 и сечение 2-2. Вверх по трубопроводу от первого сечения ко второму движется жидкость, расход которой равен Q.
Для измерения давления жидкости применяют пьезометры – тонкостенные стеклянные трубки, в которых жидкость поднимается на высоту .
В каждом сечении установлены пьезометры, в которых уровень жидкости поднимается на разные высоты.
Кроме пьезометров в каждом сечении 1-1 и 2-2 установлена трубка, загнутый конец которой направлен навстречу потоку жидкости, которая называется трубка Пито. Жидкость в трубках Пито также поднимается на разные уровни, если отсчитывать их от пьезометрической линии.
Пьезометрическую линию можно построить следующим образом. Если между сечением 1-1 и 2-2 поставить несколько таких же пьезометров и через показания уровней жидкости в них провести кривую, то мы получим ломаную линию (рис.1).
Однако высота уровней в трубках Пито относительно произвольной горизонтальной прямой 0-0, называемой плоскостью сравнения, будет одинакова.
Если через показания уровней жидкости в трубках Пито провести линию, то она будет горизонтальна, и будет отражать уровень полной энергии трубопровода.
Для двух произвольных сечений 1-1 и 2-2 потока идеальной жидкости уравнение Бернулли имеет следующий вид:
Так как сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то полученное уравнение можно переписать иначе:
и прочитать так: сумма трех членов уравнения Бернулли для любого сечения потока идеальной жидкости есть величина постоянная.
Геометрический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма трех высот (напоров) – геометрической, пьезометрической и скоростной – вдоль потока остается постоянной.
С энергетической точки зрения каждый член уравнения представляет собой определенные виды энергии:
z1 и z2 – удельные энергии положения, характеризующие потенциальную энергию в сечениях 1-1 и 2-2;
– удельные энергии давления, характеризующие потенциальную энергию давления в тех же сечениях;
– удельные кинетические энергии в тех же сечениях.
Энергетический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что при установившемся движении полная удельная энергия частиц идеальной жидкости, составляющих элементарную струйку, сохраняется постоянной по всей длине струйки. Уравнение Бернулли является выражением основного закона физики – закона сохранения энергии – применительно к жидкости.
Механическая энергия движущейся жидкости может иметь три формы: энергия положения, энергия давления и кинетическая энергия. В процессе движения одна форма энергии может превращаться в другую, но полная удельная энергия остается постоянной.
Следовательно, согласно уравнению Бернулли, полная удельная энергия идеальной жидкости в любом сечении постоянна.
Уравнение Бернулли можно истолковать и чисто геометрически. Дело в том, что каждый член уравнения имеет линейную размерность.
Глядя на рис.1, можно заметить, что z1 и z2 – геометрические высоты сечений 1-1 и 2-2 над плоскостью сравнения; – пьезометрические высоты; – скоростные высоты в указанных сечениях.
В этом случае уравнение Бернулли можно прочитать так: сумма геометрической, пьезометрической и скоростной высоты для идеальной жидкости есть величина постоянная.
Источник: https://megaobuchalka.ru/3/38301.html
Уравнение Бернулли и следствия из него
Источник: https://zdamsam.ru/a6978.html
Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости – Технарь
Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости. Выделим в ней отсек 1-2, ограниченный сечениями 1-1 и 2-2. В сечении 1-1 площадью dS1(рис.3.4), действует давление p1, а скорость движения жидкости U1. В сечении 2-2 – давление p2, площадь dS2 , скорость U2.
Центры тяжести выбранных сечений расположены на высотах Z1 и Z2 над плоскостью х0у. Если бы жидкость, расположенная в трубке тока между сечениями 1-1 и 2-2 былa неподвижна, то можно было бы записать уравнение равновесия жидкости в соответствии с основным уравнением гидростатики:
или умножив все члены на g, получим:
. (3.13)
Уравнение (3.13) описывает закон сохранения потенциальной энергии в условиях покоя жидкости. Действительно, если 1 кг жидкости поднять на высоту Z1 над условной плоскостью сравнения, а под действием давления в этом сечении жидкость в трубке пьезометра сможет подняться еще на высоту , то она обладает суммарной удельной потенциальной энергией единицы массы:
Е1 пот=, Дж/кг. (3.14)
При движении жидкость обладает также кинетической энергией. Удельная кинетическая энергия единицы массы жидкости для первого сечения:
, Дж/кг. (3.15)
Присоединяя значение кинетической энергии к суммарной потенциальной энергии жидкости в состоянии покоя получим уравнение, характеризующее равновесие жидкости в условиях движения:
, Дж/кг. (3.16)
А так как действует закон сохранения энергии, то можно записать:
. (3.17)
Уравнение (3.17) устанавливает связь между геометрическим положением, давлением и скоростью жидкости в произвольном сечении. Оно называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.
Анализируя уравнение можно увидеть, что расширение струйки (увеличение площади живого сечения струйки) приводит к уменьшению скорости струйки, а это уменьшает кинетическую энергию. А так как полная энергия струйки в любом сечении является величиной постоянной, т.е.
сумма членов является константой, то увеличивается потенциальная энергия давления жидкости в данном сечении.
И наоборот, уменьшение площади живого сечения струйки вызывает увеличение скорости и, следовательно, увеличение кинетической энергии, что приводит к уменьшению энергии потенциальной и соответственному падению давления.
Проведем анализ размерности всех членов входящих в уравнение (3.17) помня о том, что силы инерции и силы тяжести были отнесены к единице массы жидкости, то есть члены уравнения, в которых присутствует скорость либо ускорение необходимо помножить на кг/кг:
Мы получили размерность удельной энергии, энергии отнесенной к единице массы жидкости (Дж/кг– это энергия 1 кг жидкости):
Уравнение (3.17) иллюстрирует энергетический смысл уравнения Бернулли – в любом сечении струйка жидкости обладает одной и той же суммарной энергией.
Энергия трансформируется переходя из одного вида в другой при изменении условий течения, но сумма потенциальной и кинетической энергии остается постоянной.
Рассмотрим еще один вид уравнения Бернулли – вид иллюстрирующий геометрический смысл. Для этого разделим все члены уравнения (3.17) на g:
. (3.18)
При геометрической интерпретации трактовки уравнения Бернулли все члены уравнения (3.18) могут быть представлены отрезками. Здесь:
z – высота положения выбранного сечения над плоскостью сравнения, м;
— пьезометрическая высота или высота, на которую поднимется жидкость под действием давления в заданной точке, если в эту точку поместить пьезометр, м;
— скоростной напор, м;
— полный гидростатический напор, м;
Н – полный гидродинамический напор, м.
Все члены уравнения (3.18) имеют линейную размерность – м.
Источник: https://tehnar.net.ua/uravnenie-bernulli-dlya-elementarnoy-struyki-idealnoy-zhidkosti/
(нет голосов)
Загрузка...
-
Что такое электричество: что такое переменный ток, как используется в природе, откуда берется
-
Физические основы механики. часть 1: кинематика (скорость, ускорение, путь). формулы, примеры решения
-
Эссе по социально-гуманитарным наукам: как написать эссе по философии, эссе по политологии
-
Что такое ноль и фаза в электричестве и зачем он нужен?
|
Ниже задача с решением уравнения Бернулли. Примеры уравнения Бернулли по формулам. Уравнение Бернулли позволяет выполнить расчет водоснабжения и отопления: Подобрать диаметры и насосы. В этой статье будет расписан энергетический и геометрический смысл уравнения Бернулли. Скачайте видео: Задача на расчет уравнения Бернулли График Бернулли и уравнение Бернулли для идеальной жидкости: График Бернулли и уравнение Бернулли для реальной жидкости: где, Смысл уравнения Бернулли Смысл уравнения Бернули в том, чтобы показать, что внутри системы заполненной жидкостью (участка трубопровода) сохраняется общая энергия между разными точками. То есть на участке трубопровода необходимо выделить две точки, и эти две точки равны друг другу по значению полной энергии. Полная энергия состоит из потенциальной и кинетической энергии. Назначение уравнения Бернули Понять, как распределяется давление в системе трубопроводов. А также с помощью уравнения находить неизвестные параметры внутри системы. Например, найти давление в каждой течке пространства системы заполненной жидкостью. Подробнее на видео: (для запуска видео кликните по окошку) На видео намного больше информации Следующий урок Решая задачу с уравнением Бернулли, Вы фактически занимаетесь гидравлическим расчетом. О том, как делать гидравлический расчет – написано тут: Конструктор водяного отопления Задача. Пример решения уравнения Бернулли По решению задачи необходимо найти давление в точке 2 при известных параметрах: давление и расход. Как понять уравнение Бернулли? Для расчета уравнения Бернулли необходимо выбрать две точки в пространстве Например, Точка 1 – это место где известно давление Точка 2 – это место где нужно узнать давление Поймите, что каждый кусок формулы измеряется давлением: м.в.ст. (метр водяного столба) То есть для того, чтобы быстро считать гидравлику систем водоснабжения и отопления, необходимо меньше всего выражаться в Барах, Паскалях и тому подобное. Проще выражать давление в единице измерения: м.в.ст. (метр водяного столба) Вы этим самым упростите себе жизнь… просто другая единица это еще один процесс, который отнимает время. Сборка формулы уравнения Бернулли Как избавится от минуса? Как избавится от множителя (-1)? Необходимо множитель (-1) помножить на каждый слагаемый член. Знак каждого слагаемого члена меняется на противоположный. То есть (+ на -) (- на +). Далее перестановка слагаемых. Ответ: Что такое идеальная жидкость? Идеальная жидкость – это жидкость, не обладающая внутренним трением. То есть такая жидкость не создает гидравлическое сопротивление. Реальная жидкость – это жидкость, которая обладает вязкостью. То есть внутренним сопротивлением. Формула Бернулли для реальной жидкости Коэффициент Кориолиса – это поправка кинетической энергии на реальную жидкость. Потому что реальная жидкость движется не равномерно У реальной жидкости серединная струйка воды движется быстрее остальных. При ламинарном режиме градиент: Чем ближе к стенке, тем медленнее движется поток воды. Формула коэффициента Кориолиса Что такое коэффициент Кориолиса?
Совет
Коэффициент Кориолиса характеризует отношение действительной кинетической энергии потока жидкости в данном сечении к той кинетической энергии потока, которую он имел бы, если бы все частицы двигались с одинаковой скоростью, равной средней скорости потока. Чему равен коэффициент Кориолиса? Нд.п. – Это динамические потери. Это потери вызванные движением воды. Подробнее о формулах: Конструктор водяного отопления Имеются дополнительные задачи с уравнением Бернули на реальную жидкость: Задача1 Задача2 Задача3 Дополнительные задачи тут: Расчет водоснабжения и отопления своими руками Посмотрите видеоурок по составлению уравнения Бернулли: Посмотреть другие уроки: Расчет водоснабжения и отопления своими руками Как сделать гидравлический расчет погружного насоса? Посмотрите видео: Подробнее о программе
Серия видеоуроков по частному дому |
Автор: admin Дата: 2009-10-20 Для двух сечений потока 1—1 и 2—2 реальной жидкости (рисунок 1) при установившемся плавно изменяющемся движении уравнение Бернулли имеет вид: z1 + p1/γ + α1υ12/(2g) = z2 + p2/γ + α2υ22/(2g) + Σhп (1) где z — ордината, определяющая высоту положения центра выбранного сечения над произвольной горизонтальной плоскостью сравнения 0—0; p/γ — пьезометрическая высота; z + p/γ = Hп — гидростатический напор; αυ2/(2g) = hv — скоростная высота, или скоростной напор; α — коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей в живом сечении потока. Сумма трех членов: z + p/γ + αυ2/(2g) = H есть полный напор; Σhп — потеря напора между выбранными сечениями потока. Вместо выражения (1) можно написать: H1 = H2 + Σhп Все члены уравнения Бернулли в формуле (1) имеют линейную размерность и в энергетическом смысле представляют удельную энергию жидкости, т. е. энергию, отнесенную к единице веса жидкости. Так, z и p/γ – удельная потенциальная энергия соответственно положения и давления;
Σhп = Σhдл + Σhмест где Σhдл — потери энергии (напора) на трение по длине; Σhмест — местные потери энергии (напора). Если уравнение (1) умножить на γ, то получим: γz1 + p1 + γα1υ12/(2g) = γz2 + p2 + γα2υ22/(2g) + γΣhп (2) Члены уравнения (2) имеют размерность давления и представляют энергию, отнесенную к единице объема. Если уравнение (1) умножить на g, то получим gz1 + p1/ρ + α1υ12/2 = gz2 + p2/ρ + α2υ22/2 + gΣhп (3) Члены уравнения (3) имеют размерность м2/с2 и представляют энергию, отнесенную к единице массы. РИСУНОК 1
Обратите внимание
На рисунке 1 приведена диаграмма уравнения Бернулли для потока реальной жидкости. Здесь 0—0 — плоскость сравнения; N—N — плоскость начального напора; Н—Н — напорная линия, или линия полной удельной энергии. Падение ее на единицу длины представляет гидравлический уклон J; Р—Р — пьезометрическая линия, или линия удельной потенциальной энергии. Падение ее на единицу длины представляет пьезометрический уклон Jп. Так как общий запас удельной энергии вдоль потока непрерывно уменьшается, линия Н—Н всегда нисходящая, а гидравлический уклон всегда положительный (J>0). Пьезометрическая линия может быть и нисходящей, и восходящей (последнее имеет место на расширяющихся участках, когда средняя скорость потока уменьшается), поэтому пьезометрический уклон может быть и положительным (J>0), и отрицательным(J На участках с равномерным движением жидкости, где имеют место только потери напора на трение по длине, линии Н—Н и Р—Р представляют взаимно параллельные прямые, поэтому J = Jп =hдл/L. В этом случае потеря напора может быть определена по разности гидростатических напоров: hдл = (z1 + p1/γ) – (z2 + p2/γ) РИСУНОК 2
hдл = (p1 — p2)/γ На рисунке 3 показаны линия энергии Н—Н и пьезометрическая линия P—P для трубопровода переменного сечения, соединяющего два открытых резервуара. РИСУНОК 3 Источник: Вильнер Я.М. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам. |
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРАВЛИКИ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Переходя к изучению вопросов движения жидкости, нужно заметить, что на первых порах мы будем рассматривать движение так называемой идеальной жидкости, т. е. такой воображаемой жидкости, которая совершенно лишена вязкости, и лишь потом перейдем к изучению реальных потоков. В такой невязкой жидкости, так же как и в неподвижных реальных жидкостях, возможен лишь один вид напряжений — нормальное напряжение сжатия, т. е. гидромеханическое давление, или просто давление.
Важно
Давление в движущейся идеальной жидкости обладает теми же свойствами, что и в неподвижной жидкости, т. е. на внешней поверхности жидкости оно направлено по внутренней нормали, а в любой точке внутри жидкости—по всем направлениям одинаково. Течение жидкости может быть установившимся (стационарным) или неустановившимся (нестационарным). Установившееся течение—это течение неизменное по времени, при котором гидромеханическое давление и скорость являются функциями лишь координат, но не зависят от времени. Давление и скорость могут изменяться при перемещении частиц жидкости из одного положения в другое, но в данной неподвижной относительно русла точке величины давления и скорости при установившемся движении не меняются по времени. Математически это можно записать так: где индексы у скорости означают проекции этой скорости на соответствующие оси, жестко связанные с руслом. В частном случае установившеесятечение может быть равномерным, когда скорость каждой частицы не меняется с изменением ее координат. В общем случае неустановившегося течения давление и скорость зависят как от координат, так и от времени, т. е. Примерами неустановившегося течения жидкости могут служить постепенное опорожнение сосуда через отверстие в дне или движение жидкости во всасывающей или напорной трубе простого поршневого насоса, поршень которого совершает возвратно-поступательное движение. Примеры установившегося течения: истечение жидкости из сосуда, в котором поддерживается постоянный уровень; движение жидкости в замкнутом трубопроводе, создаваемое работой центробежного насоса с постоянным числом оборотов. Исследование установившихся течений гораздо проще, чем неустановившихся. В дальнейшем мы будем рассматривать главным образом установившиеся течения и лишь некоторые частные случаи неустановившегося течения. Траектории частиц жидкости при установившемся течении являются неизменными по времени кривыми. При неустановившемся течении траектории различных частиц, проходящих через данную точку пространства, будут иметь разную форму. Поэтому для рассмотрения картины течения, образующейся в каждый данный момент времени, вводится понятие линии тока. Линией тока называется такая линия в движущейся жидкости, касательные к которой в любой ее точке совпадают с направлением векторов скорости частиц, расположенных на этой линии в данный момент времени (рис. 22).
Совет
Очевидно, что в условиях установившегося течения линия тока совпадает с траекторией и не изменяет своей формы с течением времени. Если в движущейся жидкости взять элементарный замкнутый контур и через все его точки провести линии тока, то образуется трубчатая поверхность, называемая трубкой тока. Часть потока, заключенная внутри трубки тока, называется струйкой (рис. 23). При стремлении поперечных размеров струйки к нулю струйка в пределе обращается в линию тока. В любой точке боковой поверхности струйки, т. е. трубки тока, векторы скорости направлены по касательным, а нормальные к этой поверхности составляющие скорости отсутствуют, следовательно, ни одна частица жидкости ни в одной точке трубки тока не может проникнуть внутрь струйки или выйти наружу. Трубка тока, таким образом, является как бы непроницаемой стенкой, а элементарная струйка представляет собой самостоятельный элементарный поток.
Живым сечением или просто сечением потока называется в общем случае поверхность в пределах потока, проведенная нормально к линиям тока. Обычно в потоках рассматривают такие участки, в которых струйки можно считать параллельными и, следовательно, живые сечения — плоскими. Различают течения жидкости напорные и безнапорные. Напорными называют течения в закрытых руслах без свободной поверхности, а безнапорными — течения со свободной поверхностью. При напорных течениях давление вдоль потока обычно переменное при безнапорном—постоянное (чаще всего атмосферное). Примерами напорного течения могут служить течения в трубопроводах с повышенным (или пониженным) давлением, течения в гидромашинах и других гидроагрегатах. Безнапорными являются течения в реках, открытых каналах и лотках. В данном курсе мы будем рассматривать почти исключительно течения напорные. РАСХОД. УРАВНЕНИЕ РАСХОДА Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое сечение потока (струйки) в единицу времени. Это количество можно измерять в единицах объема, в весовых единицах или в единицах массы, в связи с чем различают расходы объемный Q, весовой G и массовый М.
Обратите внимание
Для элементарной струйки, имеющей бесконечно малые площади сечений, можно считать скорость одинаковой во всех точках каждого сечения. Следовательно, для элементарной струйки объемный расход будет равен где dS—площадь сечения струйки, весовой расход и массовый расход Для потока конечных размеров в общем случае скорость имеет различное значение в разных точках сечения; поэтому расход должен подсчитываться как сумма элементарных расходов струек, т. е. Обычно в рассмотрение вводится средняя по сечению скорость, равная отсюда Основываясь на законе сохранения вещества, на предположении о сплошности (неразрывности) течения и на указанном выше свойстве трубки тока, заключающемся в ее «непроницаемости», можно для установившегося течения несжимаемой жидкости утверждать, что расход во всех сечениях элементарной струйки (см. рис. 23) один и тот же, т. е. Это уравнение называется уравнением расхода для элементарной струйки. Аналогичное уравнение можно составить и для потока конечных размеров, ограниченного непроницаемыми стенками, только вместо истинных скоростей следует ввести средние скорости, тогда Из последнего уравнения следует, что средние скорости в потоке несжимаемой жидкости обратно пропорциональны площадям сечений, т. е.
Вывод уравнения бернулли для струйки идеальной жидкости Будем рассматривать установившееся течение идеальной жидкости, находящейся под воздействием лишь одной массовой силы — силы тяжести, и выведем для этого случая основное уравнение, связывающее между собой давление в жидкости и скорость ее движения. Возьмем одну из струек, составляющих поток, и выделим сечениями 1 и 2 участок этой струйки произвольной длины (рис. 24). Пусть площадь первого сечения равна dS1, скорость в нем V1, давление р1, а высота расположения центра тяжести сечения, отсчитанная от произвольной горизонтальной плоскости Z1. Во втором сечении аналогично. За бесконечно малый отрезок времени dt выделенный нами участок струйки под воздействием внешних сил переместится в положение 1’—2'.
Важно
Применим к этому участку струйки теорему механики о том, что работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела. Такими силами в данном случае являются силы давления, действующие нормально к поверхности рассматриваемого участка струйки, и лишь одна из массовых сил — сила тяжести. Подсчитаем работу сил давления, силы тяжести и изменение кинетической энергии участка струйки за сремя dt. Работа силы давления в первом сечении будет положительна, так как направление силы совпадает с направлением перемещения, и выразится как произведение силы (p1dS1) на путь (V1dt}, т. е. Работа силы давления во втором сечении будет иметь знак минус, так как направление силы прямо противоположно направлению перемещения, и определится выражением Силы давления, действующие по боковой поверхности отрезка струйки, работы не произведут ввиду того, что они нормальны к этой поверхности, а следовательно, нормальны и к перемещениям. Итак, работа сил давления будет равна Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения участка струйки. Веса отрезков 1—1’ и 2—2' равны между собой, т. е. Поэтому работа силы тяжести выразится Приращение кинетической энергии будет равно Сложив работу сил давления с работой силы тяжести и приравняв эту сумму к приращению кинетической энергии, получим Разделим все члены уравнения на вес. После соответствующих сокращений получим
Совет
Сгруппируем члены, относящиеся к первому сечению, в левой части уравнения, а относящиеся ко второму сечению—в правой части уравнения: где соответствующие составляющие – нивелирная высота или геометрический напор; пьезометрическая высота или пьезометрический напор; скоростная высота или скоростной напор. Полученное уравнение называется уравнением Бернулли для струйки идеальной несжимаемой жидкости. Трехчлен вида называется полным напором. Уравнение Бернулли (4.12) записано для двух произвольно взятых сечений струйки, первого и второго, и выражает равенство полных напоров Н в этих сечениях. Так как эти сечения взяты совершенно произвольно, то, следовательно, и для любого другого сечения этой же струйки полный напор будет иметь то же значение, т. е.
Из уравнения Бернулли и уравнения расхода следует, что, если площадь поперечного сечения струйки уменьшается, т. е. струйка сужается, то скорость течения жидкости увеличивается, а давление уменьшается, и наоборот, если струйка расширяется, то скорость уменьшается, а давление возрастает. Рассмотрим физический или, точнее, энергетический смысл уравнения Бернулли. Условимся называть удельной энергией жидкости энергию, отнесенную к единице веса, т. е. Удельная энергия имеет линейную размерность, так же как и члены уравнения Бернулли. Нетрудно показать, что члены уравнения Бернулли являются различными формами удельной механической энергии жидкости, а именно: z —удельная энергия положения, p/g —удельная энергия давления движущейся жидкости, z+ p/g — Удельная потенциальная энергия жидкости; u2/2g – Удельная кинетическая энергия жидкости; Н – полная удельная энергия движущейся жидкости.
Обратите внимание
Таким образом, энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости. Уравнение Бернулли, следовательно, выражает собой закон сохранения механической энергии в идеальной жидкости. В процессе движения идеальной жидкости одна форма энергии может превращаться в другую форму, но полная удельная энергия при этом, как следует из уравнения Бернулли, остается без изменения. Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости может быть также легко получено путем интегрирования дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости. ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ В потоке идеальной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами х, у, z (рис. 27) и выделим у этой точки элемент жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы. точка М была бы одной из его вершин. Ребра этого параллелепипеда пусть будут параллельны координатным осям и соответственно равны dx, dy и dz (эти произвольные элементарные отрезки не следует отождествлять с проекциями элементарного перемещения dx, dy и dz).
Разность сил давления, действующих на параллелепипед, например, в направлении оси х, будет равна Скорость движения жидкости в точке М обозначим через u, а ее компоненты — через ux, uy и uz. Тогда проекции ускорения, с которым движется выделенный объем, будут равны: а силы, которые необходимо ввести в уравнения движения по принципу Д'Аламбера, определятся как произведения этих ускорений на массу параллелепипеда.
Важно
Уравнения движения выделенного объема жидкости в проекциях на координатные оси теперь запишутся в следующем виде Разделим эти уравнения почленно на массу элемента rdxdydz и перейдем к пределу, т. е. стягивая параллелепипед к исходной точке М. Тогда в пределе получим уравнения движения жидкости, отнесенные к точке М: Полученная система дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости также носит название уравнений Эйлера. Уравнения Эйлера в таком виде справедливы как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости, а также для случая, когда из числа массовых сил действует лишь сила тяжести, и для общего случая относительного движения жидкости. Они справедливы и для неустановившегося движения. Рассматривая установившееся движение жидкости, умножим каждое из уравнений на соответствующие проекции элементарного перемещения, равные и сложим уравнения. Будем иметь Учитывая, что выражение в скобках является полным дифференциалом давления, а также, что уравнение (4. 15') можно переписать в следующем виде пли где U—уже силовая функция. Интегрирование этого уравнения выполним для основного частного случая установившегося движения идеальной жидкости, когда на жидкость действует лишь одна массовая сила — сила тяжести. Для этого случая, при направлении оси г вертикально вверх Подставляя эти значения в уравнение, получим или Так как в случае несжимаемой жидкости v=const, то предыдущее уравнение можно переписать в следующем виде:
Совет
Это уравнение означает, что приращение суммы трех членов, заключенных в скобку, при перемещении частицы жидкости вдоль линии тока (траектории) равно нулю. Отсюда заключаем, что указанный трехчлен есть величина постоянная вдоль линии тока, а, следовательно, и вдоль элементарной струйки, т. е. Таким образом, мы пришли к уравнению Бернулли для струйки идеальной жидкости. |
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S1и S2, по которой слева направо течет жидкость (рис.6.3). Пусть в месте сечения S1 скорость течения v1, давление р1и высота, на которой это сечение расположено, h1. Аналогично, в месте сечения S2скорость течения v2, давление p2 и высота сечения h2. За малый промежуток времени Δt жидкость перемещается от сечений S1 и S2 к сечениям S′1 и S′2.
W2– W1= A, (6.3) где W1и W2 – полные энергии жидкости массой т в местах сечений S1и S2соответственно. С другой стороны, А – это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S1и S2,за рассматриваемый малый промежуток времени Δt. Для перенесения массы т от S1 до S'1жидкость должна переместиться на расстояние l1 = υ1Δt и от S2 до S'2– на расстояние l2 = υ2Δt. Отметим, что l1и l2настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис.6.3, приписывают постоянные значения скорости υ, давления р и высоты h. Следовательно, А = F1l1 + F2l2, (6.4) где F1 = p1S1и F2 = – p2S2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; рис.6.3).
Обратите внимание
Полные энергии W1и W2будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы т жидкости: W1 = mυ12/2 + mgh1, (6.5) W2= mυ22/2 + mgh2. (6.6) Подставляя (6.5) и (6.6) в (6.3) и приравнивая (6.3) и (6.4), получим mυ12/2 + mgh1 + p1S1υ1Δt = mυ22/2 + mgh2 + p2S2υ2Δt . (6.7) Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (6.2), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е. ΔV = S1υ1Δt = S2υ2Δt. Разделив выражение (6.5) на ΔV, получим ρυ12/2 + ρgh1 + p1 = ρυ22/2 + ρgh2 + p2, где ρ – плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать ρυ2/2 + ρgh + p = const. (6.8) Выражение (6.8) называется уравнением Бернулли.Как видно из его вывода, уравнение Бернулли – выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико. Величина р в формуле (6.8) называется статическим давлением(давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина ρυ2/2 – динамическим давлением.Как уже указывалось выше, величина ρgh представляет собой гидростатическое давление. Для горизонтальной трубки тока (h1= h2) выражение (6.8) принимает вид ρυ2/2 + p = const, (6.9) где p + ρυ2/2называется полным давлением. Из уравнения Бернулли (6.9) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (6.2) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше.
В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы. Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито – Прандтля (рис.6.5). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р0), с помощью другой – статическое (р). Манометром измеряется разность давлений: р – p = ρgh, (6.10)
Важно
где ρ– плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению: р – p = ρυ2/2 . (6.11) Из формул (6.10) и (6.11) получаем искомую скорость потока жидкости: υ =. (6.12) Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса(рис.6.6). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм.рт.ст. Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис.6.7). Рассмотрим два сечения (на уровне h1 свободной поверхности жидкости в сосудена уровне h2 выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли: ρυ12/2 + ρgh1 + p1 = ρυ22/2 + ρgh2 + p2. Так как давления р1и р2в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. p1 = p2, то уравнение будет иметь вид Из уравнения неразрывности (6.2) следует, что υ2/υ1 =S1/S2, где S1и S2 – площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S1>> S2, то членом υ12/2 можно пренебречь и υ22= 2g(h1 – h2) = 2gh, υ2 =. (6.13) Это выражение получило название формулы Торричелли. Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: |